带你学考点|数量关系考点——鸡兔同笼

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知识引导

鸡兔同笼问题的历史悠久，大约在1500年前《孙子算经》中就记载了一个有趣的问题。书中是这样表述的:今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?,把这几句话翻译过来就是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚;求笼中各有几只鸡和兔?

解题方法：

(1)方程法：利用已知条件设未知量以及找两个等量关系建立二元一次方程组，进行求解。

(2)假设法：假定事物为其中一个标准。鸡和兔在同一个笼子里，假设笼子里都是鸡，这个假设前提成立的话，则脚应该有多少只，同时看已知题干信息有多少只脚，两者会存在一定的差，此时产生的差值是由于兔子的存在，每多一只兔子会比鸡多两只脚，看多少鸡的存在才会产生脚的差值;同理，也可以反之设所有都是兔子，就可以求鸡的只数。(求鸡设兔，求兔设鸡)

练习题

例1

小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定，每送达1枚完整无损的鸡蛋，可得运费0.1元;若有鸡蛋破损，不仅得不到该枚鸡蛋的运费，每破损一枚鸡蛋还要赔偿0.4元。小明10月份共运送鸡蛋25000枚，获得运费2480元。那么，在运送过程中，鸡蛋破损了：

A.20枚 B.30枚 C.40枚 D.50枚

解析答案C。

方法一：方程法。结合题干，我们发现：小明10月份共运送鸡蛋25000枚，也就是说所运送的完整的鸡蛋和破损的鸡蛋的总和为25000枚。我们不妨假设运送的完整无损鸡蛋为x枚，破损的鸡蛋为y枚，则有x+y=25000。再结合：获得运费2480元，我们可以描述出这个等量关系，完整鸡蛋一枚获得运费0.1元，则运输完整鸡蛋获得收入为0.1x，破损鸡蛋一枚赔偿0.4元，则赔偿金额为0.4y，则有0.1x-0.4y=2480。两个等式联立，我们可以解出y=40，即破损了40枚。

方法二：假设法。我们假设小明所运输鸡蛋都是完整的，则小明应得运费总额为0.1×25000=2500元。但结合题干，我们知道实际上小明只获得了2480元。因为有破损需要赔偿，所以实际上的金额会少2500-2480=20元。那我们发现每破损一枚鸡蛋不仅得不到0.1元的运费还要赔偿0.4元，也就是少获得了0.1+0.4=0.5元的运费。则破损鸡蛋的总数为20÷0.5=40枚。

例2

某饮料厂生产的A、B两种饮料均需加入某添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂4克，B饮料每瓶需加3克。已知370克该添加剂恰好生产了两种饮料共计100瓶，则A、B两种饮料各生产了多少瓶?

A.30、70 B.40、60 C.50、50 D.70、30

解析答案D。

方法一：方程法。根据题干描述，我们发现，所生产两种饮料的总和为100瓶，则假设A饮料为x瓶，B饮料为y瓶，则有x+y=100。另外，根据题干，我们可以知道共用添加剂370克，则A瓶每瓶4克，共用4x，B瓶每瓶3克，共用3y，则有4x+3y=370。联立两个方程可以得到x=70,y=30。对应地选择D项。

方法二：假设法。假设全部生产的都是A饮料，则共需要添加剂4×100=400克。则实际用了370克，则实际少用了400-370=30克。每生产一瓶B少用4-3=1克，则实际生产B的瓶数为30÷1=30瓶，对应地选择D项。

例3

某次考试共有20道题目，每题答对得5分，答错扣2分。小明在这次考试中一共得了79分，那么小明答对了几道题呢?

解析

方法一：方程法。把答对的题目数量设为x，答错的题目数量设为y。可列两个方程：①式为x+y=20。

②式为5x-2y=79。解得，x=17，y=3。

方法二：假设法。假设每道题都答对了，那么按理来说应该得到20*5=100分，可是实际上考了79分，和假设情况相比少了100-79=21分，那么这21分怎么来的呢?实际上小明有答错的题目，每有一道答错的题目，从得5分到扣2分，就会比理想情况少5+2=7分，一共少了21分，所以一共答错了21÷7=3道题目。所以答对的题目数量为20-3=17道。

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