2022安徽公务员考试行测数量关系：巧用均值不等式求极值

什么是均值不等式

若a、b均是实数，则：

均值不等式的推论：

1.两个数的加和一定，两个数的乘积存在最大值，当且仅当两个数相等时乘积最大。

2.两个数的乘积一定，两个数的和有最小值，当且仅当两个数相等时和最小。

3.在我们考试的题目中，根据题目条件限制，有时候a与b不能取等号，这时a与b的值越接近，那么最后计算取值就会越接近最大值或最小值。

应用环境

1.题目所求极值为两数乘积的最大值，同时这两个数的加和是一个固定值时，可用均值不等式求解(需要注意区别是这两个数相等，不是两个未知数相等)：

例1

老王打算用一段长为36米的篱笆围靠墙围出一个矩形的菜园，问这个矩形的长为多少米时，菜园面积最大?

A.12 B.14 C.16 D.18

解析D。如下图，设矩形的长和宽分别为x米和 y米，则有,矩形的面积为

菜园面积最大。

2.题目所求极值为两数加和最大值，同时这两个数的乘积为一个固定值时也可用均值不等式求解，也需要注意区别是两个数相等，不是两个未知数相等：

例2

建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米160元和每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元?

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

解析D。如下图所示，设池底的长和宽分别是则池底的面积为,池壁的面积为水池的造价为由均值不等式可知，为加和的最小值，

该水池的最低造价为

3.当题目条件限制，两数之间不能取等号时，则是两个数之间的取值越接近，越容易取得最大值或者最小值。

例3

沿一个平面将长、宽和高分别为8、5和3厘米的长方体切割为两部分，问两部分的表面积之和最大是多少平方厘米？

解析C。如下图所示，将长方体切割成两部分，则原长方体的表面积不变为要使两部分的表面积之和最大，只要切割面面积最大即可。当沿对角线切割时，面积尽可能大，这样的切割面的面积共有三种，即

因为都可以写成的值是一定的，此时所以最大面积为

通过上述例题我们可以发现，在实际做题时能够用到均值不等式求解极值得题目，只要你能够分析出他们加和或者是乘积之间存在的定值关系，在计算时就能化繁为简，优化计算过程从而快速得到结果。