若整数a除以非零整数b,商为整数,且余数为零,即称之为a能被b整除(或说b能整除a)。
所求量具有整除特性,根据整除特性,快速排除错误选项。
题干文字描述中出现每……、平均、……倍、余等,用可以尝试用整除进行求解。
某部门租车出游,平均每人应付车费42元。后来又增加了若干人,这样每人应付的车费是33元,租车费是( )
A.1265元 B.2024元 C.2772元 D.3165元
思路引导:考生要对每……、平均、……倍、余这些字眼要敏感,这道题目中出现了平均每的字眼,我们要想到用整除思想来解题,看所求量具有什么整除特性。根据大家常见的小数字的整除判定,来验证选项的正确性,从而排除错误选项。
答案C。解析:由题意可知,租车费=每人应付的费用×总人数=42×原有总人数=33×后来总人数,则租车费是42的倍数,42数据比较大,不好判断,但42=6×7,可以用小的数据判断,简单计算可知,只有C选项是6的倍数,选择C项。
有一堆玻璃珠,若按2个一组分开,最后剩1个;若按3个一组分开,最后剩2个;若按5个一组分开,最后剩4个;若按6个一组分开,最后剩5个;若按7个一组分开,最后一个也不剩。问这堆玻璃珠至少有多少个?
A.105 B.119 C.126 D.133
思路引导:这道题目出现了余的字眼,并且有5句整除的相关描述。玻璃珠总数把余数减掉后恰好一组一组分开。玻璃珠的总数具有整除特性,由此入手,结合最有特点的小数字的整除判定排除错误选项。
答案B。解析:方法一,根据题意可知,玻璃珠的数量减4能够被5整除,排除A、C、D三项,选择B项。(或者玻璃珠的数量减2能够被3整除,同样选择B选项)
方法二,根据题意可知,玻璃珠的数量除以2余1、除以3余2、除以5余4、除以6余5,且能被7整除。那么玻璃珠的总数+1后满足同时被2、3、5、6整除,且玻璃珠的总数能被7整除,故总数可表示为30n-1(30是2、3、5、6的最小公倍数),且能被7整除。观察选项均大于100,n至少取4,30×4-1=119,119能被7整除,符合题意(或直接通过尾数可以确定,30n-1尾数为0-1,尾数为9)。故本题选B。
题干信息中出现比例、分数、小数、百分数等数据时,用整除。
某校参加数学竞赛的同学有100多人,考试成绩在90~100分的恰好占参赛总人数的,得80~89分的占参赛总人数的,得70~79分的恰好占参赛总人数的,那么70分以下的有( )。
A.28人 B.34人 C.36人 D.39人
思路引导:这道题目虽然没有出现相关字眼,但是出现比例、分数、小数、百分数等数据时,同样要提高敏感度。所求量70分以下的人没有整除特点,但相关量总人数具有整除特性,先根据整除特性确定出总人数,再求解70分以下人数。
解析答案选B。由题意可知,参赛总人数能同时被5、7、3整除,即能被105整除,而参加数学竞赛的同学有100多人,则参赛总人数为105,70分以下的有105×
通过上述例题的学习,大家对整除思想解题有一定的了解。在今后的解题过程中,当出现了相关的字眼每……、平均、……倍、余或者出现的数据以比例、分数、小数、百分数呈现时,想到用整除思想解决题目。希望大家在备考过程中多练习运用整除特性解题,培养对数字的敏感度。在学习的过程中不断积累并运用,提升解题的效率和正确率。
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