为什么正四面体是三等分点

1.证明：连结BN，交MD于点O，连结FO

在正三角形ABD中，点M.N分别是棱AB、AD的中点，

即MD.BN分别是正三角形ABD对应边上的中线

那么：点O是正三角形ABD的中心

则有：BO：BN=2：3

又点F为棱BC上靠近点C的三等分点，那么：

BF：BC=2：3

所以在△BCN中，BO：BN=BF：BC

易得：FO//CN且FO：CN=2：3

又FO在平面MDF内，CN不在平面MDF内

所以由线面平行的判定定理可得：

CN//平面MDF

2.解：连结AF.AO

由第1题可知：FO//CN

那么：∠AFO就是异面直线AF、CN所成角（或其补角）

令该正四面体的棱长为2a，那么：

易得：AF=NC=√3*a，AO=2√3*a/3，则有：FO=2NC/3=2√3*a/3

所以在△AFO中，由余弦定理可得：

cos∠AFO=(AF +FO -AO )/(2*AF*FO)

=(3a + 4a /3 - 4a /3)/(2*√3*a *2√3*a/3)

=3a /(4a )

=3/4

即异面直线AF、CN所成角的余弦值为3/4。