高中数学 关于裂项相消的问题

先不论这一道题的解法，给你一个比较普遍的裂项方法，你可以试试：

一般来说，能够裂项的分式，分子的总次方数要小于分母的总次方数。

首先你需要对分式的分母进行因式分解写成若干个一次项或者二次项的乘积（一次项比如ax+b，二次项比如ax^2+bx+c等，这里的a，b，c都是常数）。

因式分解完以后根据你分母的那些多项式将它展开，用待定系数法，给一个例子：

比如经过上一步整理以后你的分式写成了K/(ax+b)(cx^2+dx+e)，

那么根据你的分母，将原式改写为A/(ax+b)+(Bx+C)/(cx^2+dx+e)，令这个展开式等于原式，通分，解出A,B,C就完成了裂项（注意这边分母是二次项的话，分子得是一次项，而分母是一次项的话分子是常数）。

这是裂项相对简单和常见的情况了，高中阶段应该可以适用吧。

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那么回到这道题，你应该可以想到，首先令3^n=t，则3^(n+1)=3t

原式就写成M=t/(t+1)(3t+1)，

根据分母展开，M=A/(t+1)+B/(3t+1)

通分，得到t=A(3t+1)+B(t+1)

解这个以A,B为未知数的二元方程，3A+B=1;A+B=0

得到A=1/2，B=-1/2

所以裂项结果是M=(1/2)/(3^n+1)-(1/2)/(3^(n+1)+1)

这个就是设未知数然后分子各项对应相等就行了。你要是想研究深一点，我给你发一个，你可以研究研究。这是我之前复习大学的一个专业课看到的，不过大学数学应该会学到这个，不掌握也没事，了解一下。