三级等差数列的常见数列

1、数列；

2、等差数列；

3、等比数列；

4、双重数列；

5、和差数列；

6、积商数列；

7、平方数列；

8、立方数列。

第一类数列（最容易的数列）：（n表示第几项数，a1表示第一项数字） 一、常见数列：

（1）自然数数列：

1、2、3、4、5、6、……即an=n

（2）偶数数列：2、4、6、8、10……即an=2n

（3）奇数数列：

1、3、5、7、9……即an=2n-1

（4）自然数平方数列：

1、4、9、16、25、36……即an=n2

（5）自然数立方数列：

1、8、27、64……即an=n3 3、7、11、15、19…… 是指相邻两数的差值相等，整列数字是依次递增、递减或恒为常数的一组数字，通常用an=a1+(n-1)d来表示。如9、20、31、（42）、53。 等差数列是数字推理中最基本的规律，是解决数字推理题的“第一思维”，也即你解答任何数字推理时，都首先要想到等差数列，即从数字和数字之间的差的关系上进行判断和推理。

等差数列分为一级等差、二级等差、三级等差，一级等差是比较容易看出来的，就像19、27、35、43、51，它们之间的差值为8。 定义：如果一个数列的后项减去前项又得到一个新的等差数列，原数列就是二级等差数列。如：

150、163、179、198、（220）

A、200 B、199 C、220 D、217

二级等差的变式：数列的后一项减前一项所得的差组成的新数列是一个呈某种规律变化的数列。这个数列有可能是自然数列、平方数列、立方数列，或者与加1减1有关的等式，或者是等比数列等等，像下面这一题：

1、2、5、14、（）

A、31 B、41 C、51 D、61

三级等差：依此类推，三级等差就是指该数列的后项减去前项得一新的二级等差数列及其变式。我们看下面这一题：

1、10、31、70、133、（ ）

A、136 B、186 C、226 D256

判断：0、4、16、40、80、（ ）

A、160 B、128 、136 D、140 等比数列，是指相邻两数字之间的比为一常数的数列，这个比值被称为公比，一般用字母q来表示。通项公式为： an=a1qn-1（q≠0）

例如：

1、2、4、8、16、32、……

这种数列的特点是数列各项都是依次递增或递减，但不能出现“0”这个常数，有“0”的就可以排除是等比数列。

一级等比比较容易判断，如1、4、16、64、（ ）

A、72 B、128 C、192 D、256

二级等比和三级等比及其变式是比较难判断，要经两三步的推算，下面我们来看二级等比数列：

2、2、4、16、（ ）

A、32 B、48 C、64 D、128

它的一个变式：

1/4，1/4，1，9，（ ）

A、81 B、121 C、144 D、169

判断：2 4 12 48 （ ）

A、96 B、120 C、240 D、480 就是一部分是等差数列，另一部分是等比数列。

如：3/7 5/14 7/28 9/56 （ ） 13/224

A、2/7 B、11/112 C、11/49 D、15/63

再看这个数列：

1、64 100 68 （ ） 44

A、50 B、55 C、52 D、49 特点是相邻之间的数字没有必然的联系，数字之间的规律藏于奇数列之间和偶数列之间。做这种题，先扫一眼看是双重数列，就应用做题规律来解决。例：7 14 10 12 14 9 19 5 （ ） （ ）

A、25 B、20 C、16 D、0

和差数列

特点是第三项由前两项产生的。和数列是指第1项加第2项，等于第3项，（如果有这样一个数列A、B、C、D、E……即A+B=C，B+C=D，C+D=E，）如：

1、2、3、5、8、13、（ ）

A、14 B、15 C、20 D、21

差数列是指前两项之差等于第三项。如果有这样一个数列：

A、B、C、D、E、F，那么则为A-B=C，B-C=D，C-D=E

如：

1、8、10、（8）、2、6 -4

和差数列的变式：

这种类型的题目，就是某数列前两项相加或相减，再经过某种变化得到第三项，则就可以用和差的方法来解答。如：

22、35、56、90、（ ）、234

A、162 B、156 C、145

再如：4、8、6、7、（ ）、27/4

A、13 B、13/2 C、17 D、21/4

例：4、5、11、14、22、（ ）

A、24 B、26 C、27 D、36

和差数列还有一种类型就是三项和差及其变式，它的特点是前三项之和经过变化后得第四项。

如：0、1、1、2、4、7、13、（ ）

A、22 B、23 C、24 D、25

再看一个例子：2、3、4、9、12、15、22、（ ）

A、27 B、31 C、36 D、42 特点也是第三项由前两项产生的，解题要点是要看第三项与前两项存在某种联系，并且变化的幅度很大，就可以考虑积商数列的规律。如：

1、3、3、9、（ ）、243

A、12 B、27 C、127 D、169

下面来看它们的变式：

1、3、2、4、5、16、（ ）

A、25 B、32 C、48 D、75

这道题的第三项是：

1、×3-1=2，3×2-2=4，2×4-3=5，4×5-4=16，5×16-5=75，应选D、75。 把某一数列变为a12，a22，a32后，再看新的数列是什么关系，有什么特点，然后再回归原数列。如：

1、6、36、25、49、36、64、（ ）

A、49 B、81 C、100 D、121

它的一个变式：79、102、119、146、（ ）

A、158 B、162 C、167 D、172 它与平方数列差不多，也是将某数列变为a13,a23,a33之后再进行分析，如：29、62、127、214、（ ）

A、428 B、408 C、345 D、397

3的立方+2、4的立方-2、5的立方+2、6的立方-2（7的立方+2=345） 选C

再看：0、9、26、65、124、（ ）

A、165 B、193 C、217 D、239

1、化成常用数列，如等差数列和等比数列、平方数列、立方数列等。

2、错位相减法，对形如{a_n*b_n}的数列常用此法，其中a_n是等差数列，b_n是等比数列。常见方法。

3、公式法。如对差分方程a_n+2=p*a_n+1+q*a_n，（p、q为常数）可用特征方程x^2=px+q解。若特征方程有两相异根x1和x2，通解为an=αx1^n+βx2^n;若两根相同x1=x2,通解为(α+βn)x1^n,常数α和β由初始情况确定。

4、裂项法。裂项之后中间项能相互抵消而化简。该法也很常见。

5、数学归纳法。先计算出前面几项，然后对同项公式进行猜想，最后用数学归纳法严格证明之。这个方法使用很多，要重点掌握。