行测数量关系之“不定方程”的三种巧解方法

定义

未知数的个数多于独立方程的个数。例如2x+3y=18，此方程中有x和y两个未知数，独立方程只有1个，对于这个方程而言，它实数范围内的解是不固定的，所以该方程为不定方程。

不定方程的求解

在上面的定义中提到不定方程的解是不固定的，那怎么求解呢?在实际考试中，求解不定方程时往往会结合现实背景来进行考查，也就是说会对这些未知数进行一个限定，比如说文件袋的数量、人数等等只能为正整数，所以在加上这些限定条件后，不定方程通常就是在正整数范围内求解。

接下来我们就一起学习未知数取值条件在正整数范围内时不定方程到底该如何求解吧。

(一)整除法：未知数系数和常数项存在公约数

例1

4x+7y=88，已知x，y为正整数，则y=( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

解析D。对于这道题完全可以把选项一一代入，是可以得到答案的。但是我们发现这道题4x能被4整除，88也能被4整除，所以7y也应该能被4整除，也就是y能被4整除，结合选项答案只有8，选择D选项。所以当某一未知数前的系数与常数项有非1公约数时，就可以考虑整除法。

(二)尾数法：利用未知数系数末尾为0或5的数字特性

例2

5x+8y=49，已知x，y为正整数，则y=( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析B。这道题49的尾数为9，5x的尾数为0或5，那么8y尾数相对应的为9或4，而8y是偶数，尾数不可能为9，所以只能取4，结合四个选项，只有当x=3时，8y尾数才能为4，选择B选项。结合这道题，当未知数前的系数为5的倍数时，就可以考虑用尾数法来解不定方程。

(三)奇偶特性：未知数的系数一奇一偶

例3

6x+7y=64，已知x，y为质数，则y=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析B。已知偶数乘以任一数都是偶数可知，6x一定是偶数。64也是个偶数，由偶数+偶数=偶数可知：7y一定是个偶数。7为奇数，y必须是个偶数，且题干条件要求x，y都是质数，2是唯一的质偶数，所以y只能取2，直接锁定B选项。

我们可以看到在正整数范围内求解不定方程的题目，运用整除、尾数法以及奇偶特性三种解题方法可以快速求解，只需要大家记住每种方法的应用环境就可以。希望大家能熟练掌握解题方法，从中有所收获。