关于密码学的问题

混沌流密码研究

胡汉平1 董占球2

（华中科技大学图像识别与人工智能研究所/图像信息处理与智能控制教育部重点实验室

中国科学院研究生院，）

摘要：在数字化混沌系统和基于混沌同步的保密通信系统的研究中存在一些亟待解决的重要问题：数字化混沌的特性退化，混沌时间序列分析对混沌系统安全性的威胁等，已严重影响着混沌流密码系统的实用化进程。为此，提出了通过变换的误差补偿方法克服数字混沌的特性退化问题；构建混沌编码模型完成对混沌序列的编码、采样，由此得到满足均匀、独立分布的驱动序列；引入非线性变换，以抵抗对混沌流密码系统安全性的威胁。

关键词：混沌流密码系统；特性退化；非线性变换；混沌时间序列分析

1. 引言

随着以计算机技术和网络通信技术为代表的信息技术的不断发展和迅速普及，通信保密问题日益突出。信息安全问题已经成为阻碍经济持续稳定发展和威胁国家安全的一个重要问题。众所周知，密码是信息安全的核心，设计具有自主知识产权的新型高性能的密码体制是目前最亟待解决的重要问题。

混沌是确定性系统中的一种貌似随机的运动。混沌系统都具有如下基本特性：确定性、有界性、对初始条件的敏感性、拓扑传递性和混合性、宽带性、快速衰减的自相关性、长期不可预测性和伪随机性[1]，正是因为混沌系统所具有的这些基本特性恰好能够满足保密通信及密码学的基本要求：混沌动力学方程的确定性保证了通信双方在收发过程或加解密过程中的可靠性；混沌轨道的发散特性及对初始条件的敏感性正好满足Shannon提出的密码系统设计的第一个基本原则――扩散原则；混沌吸引子的拓扑传递性与混合性，以及对系统参数的敏感性正好满足Shannon提出的密码系统设计的第二个基本原则――混淆原则；混沌输出信号的宽带功率谱和快速衰减的自相关特性是对抗频谱分析和相关分析的有利保障，而混沌行为的长期不可预测性是混沌保密通信安全性的根本保障等。因此，自1989年R.Mathews, D.Wheeler, L.M.Pecora和Carroll等人首次把混沌理论使用到序列密码及保密通信理论以来，数字化混沌密码系统和基于混沌同步的保密通信系统的研究已引起了相关学者的高度关注[2]。虽然这些年的研究取得了许多可喜的进展，但仍存在一些重要的基本问题尚待解决。

1.1 数字混沌的特性退化问题

在数字化的混沌密码系统的研究方向上，国内外学者已经提出了一些比较好的数字混沌密码系统及其相应的密码分析方法：文献[3]提出基于帐篷映射的加解密算法；文献[4]1998年Fridrich通过定义一种改进的二维螺旋或方形混沌映射来构造一种新的密码算法；文献[5,6]提出把混沌吸引域划分为不同的子域，每一子域与明文一一对应，把混沌轨道进入明文所对应的混沌吸引域子域的迭代次数作为其密文；在文献[7]中，作者把一个字节的不同比特与不同的混沌吸引子联系起来实现加/解密；文献[8]较为详细地讨论了通过混沌构造S盒来设计分组密码算法的方法；文献[9,10]给出了混沌伪随机数产生的产生方法；英国的SafeChaos公司将混沌用于公钥密码体制，推出了CHAOS+Public Key (v4.23)系统[11]；等等。但是，这些数字混沌系统一般都是在计算机或其它有限精度的器件上实现的，由此可以将混沌序列生成器归结为有限自动机来描述，在这种条件下所生成的混沌序列会出现特性退化：短周期、强相关以及小线性复杂度等[12-15]，即数字混沌系统与理想的实值混沌系统在动力学特性上存在相当大的差异。它所带来的混沌密码系统安全的不稳定性是困扰混沌密码系统进入实用的重要原因[16]。尽管有人指出增加精度可以减小这一问题所造成的后果，但其代价显然是非常大的。

1.2 对混沌流密码系统的相空间重构分析

目前，对混沌保密通信系统的分析工作才刚刚起步，主要方法有：统计分析（如周期及概率分布分析和相关分析等）、频谱分析（包括傅立叶变换和小波变换等）和混沌时间序列分析[17]。前两者都是传统的信号分析手段，在此就不再赘述，而混沌时间序列是近20年来发展的一门扎根于非线性动力学和数值计算的新兴学科方向。

从时间序列出发研究混沌系统，始于Packard等人于1980年提出的相空间重构（Phase Space Reconstruction）理论。众所周知，对于决定混沌系统长期演化的任一变量的时间演化，均包含了混沌系统所有变量长期演化的信息（亦称为全息性），这是由混沌系统的非线性特点决定的，这也是混沌系统难以分解和分析的主要原因。因此，理论上可以通过决定混沌系统长期演化的任一单变量的时间序列来研究混沌系统的动力学行为，这就是混沌时间序列分析的基本思想。

混沌时间序列分析的目的是通过对混沌系统产生的时间序列进行相空间重构分析，利用数值计算估计出混沌系统的宏观特征量，从而为进一步的非线性预测[18]（包括基于神经网络或模糊理论的预测模型）提供模型参数，这基本上也就是目前对混沌保密通信系统进行分析或评价的主要思路。描述混沌吸引子的宏观特征量主要有：Lyapunov指数（系统的特征指数）、Kolmogorov熵（动力系统的混沌水平）和关联维（系统复杂度的估计）等[17]。而这些混沌特征量的估计和Poincare截面法都是以相空间重构以及F.Takens的嵌入定理为基础的，由此可见相空间重构理论在混沌时间序列分析中的重大意义。

1.3 对混沌流密码系统的符号动力学分析

我们在以往的实验分析工作中都是针对混沌密码系统的统计学特性进行研究的，如周期性、平衡性、线性相关性、线性复杂度、混淆和扩散特性等，即使涉及到非线性也是从混沌时间序列分析（如相图分析或分数维估计等）的角度出发进行研究的。然而，符号动力学分析表明，混沌密码系统的非线性动力学分析同样非常主要，基于实用符号动力学的分析可能会很快暴露出混沌编码模型的动力学特性。基于Gray码序数和单峰映射的符号动力学之间的关系，文献[20]提出了一种不依赖单峰映射的初始条件而直接从单峰映射产生的二值符号序列来进行参数估计的方法。分析结果表明，基于一般混沌编码模型的密码系统并不如人们想象的那么安全，通过对其产生的一段符号序列进行分析，甚至能以较高的精度很快的估计出其根密钥（系统参数或初始条件）。

上述结论虽然是针对以单峰映射为主的混沌编码模型进行的分析，但是，混沌流密码方案的安全性不应该取决于其中采用的混沌系统，而应该取决于方案本身，而且单峰映射的低计算复杂度对于实际应用仍是非常有吸引力的。因此，我们认为，如果希望利用混沌编码模型来设计更为安全的密码系统，必须在混沌编码模型产生的符号序列作为伪随机序列输出（如用作密钥流或扩频码）之前引入某种扰乱策略，这种扰乱策略实质上相当于密码系统中的非线性变换。

该非线性变换不应影响混沌系统本身的特性，因为向混沌系统的内部注入扰动会将原自治混沌系统变为了非自治混沌系统，但当自治混沌系统变为非自治混沌系统之后，这些良好特性可能会随之发生较大的变化，且不为设计者所控制。这样有可能引入原本没有的安全隐患，甚至会为分析者大开方便之门。

上述非线性变换还应该能被混沌编码模型产生的符号序列所改变。否则，分析者很容易通过输出的伪随机序列恢复出原符号序列，并利用符号动力学分析方法估计出混沌编码模型的系统参数和初始条件。因此，非线性变换的构造就成了设计高安全性数字混沌密码系统的关键之一。

2. 混沌流密码系统的总体方案

为克服上述问题，我们提出了如下的混沌流密码系统的总体方案，如图1所示：

在该方案中，首先利用一个混沌映射f产生混沌序列xi，再通过编码C产生符号序列ai，将所得符号序列作为驱动序列ai通过一个动态变化的置换Bi以得到密钥流ki，然后据此对置换进行动态变换T。最后，将密钥流（即密钥序列）与明文信息流异或即可产生相应的密文输出（即输出部分）。图1中的初始化过程包括对混沌系统的初始条件、迭代次数，用于组合编码的顺序表以及非线性变换进行初始化，初始化过程实质上是对工作密钥的输入。

在图1所示的混沌编码模型中，我们对实数模式下的混沌系统的输出进行了编码、采样。以Logistic为例，首先，以有限群论为基本原理对驱动序列进行非线性变换，然后，根据有限群上的随机行走理论，使非线性变换被混沌编码模型产生的驱动序列所改变。可以从理论上证明，我们对非线性变换采用的变换操作是对称群的一个生成系，所以，这里所使用的非线性变换的状态空间足够大（一共有256！种）。

3. 克服数字混沌特性退化的方法

增加精度可以在某些方面减小有限精度所造成的影响，但效果与其实现的代价相比显然是不适宜的。为此，周红等人在文献[22]中提出将m序列的输出值作为扰动加到数字混沌映射系统中，用于扩展数字混沌序列的周期；王宏霞等人在文献[23]中提出用LFSR的输出值控制数字混沌序列输出，从而改善混沌序列的性质；李汇州等人在文献[24]中提出用双分辨率的方法解决离散混沌映射系统的满映射问题。上述方法又带来新的问题：使用m序列和LFSR方法，混沌序列的性质由外加的m序列的性质决定；使用双分辨率时，由于输入的分辨率高于输出的分辨率，其效果与实现的代价相比仍然没有得到明显的改善。

为此，我们提出了一种基于Lyapunov数的变参数补偿方法。由于Lyapunov数是混沌映射在迭代点处斜率绝对值的几何平均值，所以，可以将它与中值定理结合对数字混沌进行补偿。以一维混沌映射为例，该补偿方法的迭代式为：

（1）

式中， 为Lyapunov数，ki是可变参数。

参数ki的选择需要满足下面几个条件：

（1）ki的选取应使混沌的迭代在有限精度下达到满映射；

（2）ki的选取应使混沌序列的分布近似地等于实值混沌的分布；

（3）ki的选取应使混沌序列的周期尽可能的长。

根据上述几个条件，我们已经选取了合适的80个参数，并且以Logistic为例对该变参数补偿方法输出的混沌序列进行了分析。在精度为32位的条件下，我们计算了混沌序列的周期，其结果如下：

除周期外，我们还对复杂度、相关性和序列分布进行了检测。从结果可知，该变参数补偿方法，使得在不降低混沌的复杂度基础上，增长其周期，减弱相关性，使其逼近实值混沌系统。该方法不仅非常明显地减小了有限精度所造成的影响，使数字混沌序列的密度分布逼近实值混沌序列的理论密度分布，改善数字混沌伪随机序列的密码学性质，而且极大地降低实现其方法的代价。

4. 非线性变换

为克服符号动力学分析对混沌密码系统的威胁，我们根据有限群上的随机行走理论提出了一种非线性变换方法，并对引入了非线性变换的混沌密码系统进行了符号动力学分析，分析结果表明，引入了非线性变换的模型相对一般混沌编码模型而言，在符号动力学分析下具有较高的安全性。以二区间划分的模型为例，我们选用Logistic映射作为图1中的混沌映射f，并根据符号动力学分析中的Gray码序数[20,21]定义二进制码序数，见2式。

（2）

二值符号序列S的二进制码序数W(S)∈(0, 1)。注意，这里的Wr(xi)并不是单值的，因为同样的状态xi可能对应不同的置换Bi。

图2 在2区间划分下产生的二值符号序列的Wr(xi)分析

图2中的Wr(xi)为参数r控制下从当前状态xi出发产生的二值符号序列的二进制码序数。图2（a）是未进行非线性变换时的情形，可以看出，其它三种进行非线性变换时的情形都较图2（a）中的分形结构更为复杂。由此可见，引入了非线性变换的混沌模型相对一般混沌编码模型而言，在符号动力学分析下具有较高的安全性。

5. 混沌流密码系统的理论分析和数值分析结果

5.1 理论分析结果

密钥流的性质直接关系到整个流密码系统的安全性，是一个极为重要的指标。我们对密钥流的均匀、独立分布性质和密钥流的周期性质给出了证明，其结果如下：

（1）密钥留在0,1,…,255上均匀分布。

（2）密钥流各元素之间相互独立。

（3）密钥流出现周期的概率趋向于零。

（4）有关密钥流性质的证明过程并不涉及改变非线性变换的具体操作，也不涉及具体的驱动序列产生算法，仅仅要求驱动序列服从独立、均匀分布，并且驱动序列和非线性变换之间满足一定的条件，这为该密码系统，特别是系统驱动部分的设计和改进留下余地。

总之，该密码系统可扩展，可改进，性能良好且稳定。

5.2 数值分析结果

目前，基本密码分析原理有：代替和线性逼近、分别征服攻击、统计分析等，为了阻止基于这些基本原理的密码分析，人们对密码流生成器提出了下列设计准则：周期准则、线性复杂度准则、统计准则、混淆准则、扩散准则和函数非线性准则。

我们主要根据以上准则，对本密码系统的密钥流性质进行保密性分析，以证明其安全性。分析表明：混沌流密码系统符合所有的安全性设计准则，产生的密钥序列具有串分布均匀、随机统计特性良好、相邻密钥相关性小、周期长、线性复杂度高、混淆扩散性好、相空间无结构出现等特点；该密码系统的工作密钥空间巨大，足以抵抗穷举密钥攻击。并且，由于我们采用了非线性变换，所以该密码系统可以抵抗符号动力学分析。

6. 应用情况简介

该混沌流密码系统既有效的降低了计算复杂度，又极大的提高了密码的安全强度，从而为混沌密码学及其实现技术的研究提供了一条新的途径。该系统已于2002年10月30日获得一项发明专利：“一种用于信息安全的加解密系统”（00131287.1），并于2005年4月获得国家密码管理局的批准，命名为“SSF46”算法，现已纳入国家商用密码管理。该算法保密性强，加解密速度快，适合于流媒体加密，可在银行、证券、网络通信、电信、移动通信等需要保密的领域和行业得到推广。该加密算法被应用在基于手机令牌的身份认证系统中，并且我们正在与华为公司合作将加密算法应用于3G的安全通信之中。

山东省考考立体拼合吗

图形推理：点、现、面、素、角

类比推理 中国 北京 法国 法兰克福

定义判断

逻辑推理：依托逻辑学

一组图两组图 前面一组图找规律 后面一组应用规律 九宫格 百分之九十都是横着看 第一组找规律 第二组验证规律 第三组应用规律 少部分竖着看 也是第一组找规律 第二组验证规律 第三组应用规律 还有米字格和S型 分组分类：每一组分别成规律 空间重构

图形推理考点有7种 通过图形特征快速定位考点

点：交点、切点

线：曲线、直线、一笔画/多笔画

面：封闭空间、特殊图形

对称：对称轴、对称点

平移

旋转

翻转

直接叠加

存同/存异叠加

规律叠加

1.方向：直线（上下、左右、斜对角线）、绕圈（顺逆时针）

2.常见步数：恒定、递增（等差）

（1）左右翻转：竖轴对称 （2）上下翻转：横轴对称 翻转是转动

位置规律：识别方法：元素组成相同 技巧：比较思维：比较题干也可以比较选项

特征：元素组成相似 黑块不同是时候优先考虑黑白运算 分割不同区域黑白不同优先考虑黑白运算。从零区域开始

样式规律：特征：元素组成相似 考点：加减同异 黑白运算 注意位置+样式的复合考法

真题中的轴对称图形：有很多带方向的三角形 C Y

真题中心对称图形：S Z N 平行四边形 一样的东西旋转180度

只要有一个不是对称那么就不是对称规律，赶紧想别的规律。

考点：点、线、面、素、角

线的特殊考点：笔画问题。 一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画。比如圆、五角星。一笔画问题要满足：线条之间连通、奇点数=0或2。 端点一定说奇点。 一定是2点倍数。 注意：数奇点点时候不要忘记数上端点。

多笔画问题 笔画数=奇点数/2。（奇点数一定是偶数个）。 一笔画常见：五角星、日、和他们的变形。 两笔画：田及其变形 各种圆交叉在一起就是一笔画。线数量：直线 曲线 笔画 一笔画大概率会出一个 五角星，日，端点一定是奇点

曲直性和面可能结合在一起考 出汉字、数字 1.笔画 2.线 3.面

面中的三角形 汉字看面

部分数特征：生活化图形、黑色粗线条图形

注意：如果是两个点 可以先连起来看看

1.相离 2.相压 3.相交 相交于面 相交于点 相交于边：数量 相交于边：样式 相交于边分为包含和交错

关于空间重构 橡皮法：淘宝搜公考橡皮 照着图画一下

所有的方法都是排除错误选项的

方法二、相邻面 上下左右 构成直角的两条边是同一条边 相对位置—图形方向明显。 相对面不能同时出现。

画边法：

1.结合选项，找一个特殊面的唯一点或唯一边 2.顺时针描边 3.题干与选项对应面不一致—排除。 题干与选项对应面不一致---排除。

构成一条直线的两条边，折合之后是同一条边。解题技巧：箭头法（判定左、右、下三个面） 八面体。 每一个顶点出发有4个面，有且只有四个面。解题技巧：箭头法、公共点。

主视图：从正面看。俯视图：从头顶向下看。左视图左边看。 解题原则：观察到的三视图都是平面图。当被遮挡着，看不见被遮挡部分。 有些角度下弧会被压平。 原图中有线就有线。

看数量 要大量刷题。

题型判定：题干中给出一个立体图形，问哪项能够或不能成为其截面。

截面图：指的是被切部分的形状。 六面体只能切出锐角三角形、不能切直角和钝角三角形。 解题原则：一刀切、不能拐弯。

解题原则：凹凸有致：有凹必有凸 有凸必有凹

在备选答案中找出一组最为贴近或相似的词。

二、比喻义、象征义 月亮：玉盘 松鹤：长寿

师心自用 固执己见 刚愎自用 三个都是自以为是。

先看含义 再看形式

1.全同关系

2.并列关系 矛盾关系：生 死 对称、不对称 反对关系：黑色 白色 苹果 香蕉 顺序反了一定错

3.包容关系 种属关系苹果：水果 组成关系：轮胎：汽车 八卦包含乾坤 4.交叉关系：女士 和公务员 5.对应关系 材料 工艺 功能 属性 生铁：碳大于2% 钢材：碳小于2% 毛线的材料是羊毛

地球自转导致昼夜交替 地球公转导致四季更替 潮汐是由月球和太阳引力形成

主谓关系：例如 学生学习

动宾关系 学习 功课

主宾关系 学生 功课

造句子原则：

1.能不加字就不加字，能少加字就少加字 2.加字尽力加一样的

给出一个概念，选出一个最符合最不符合该定义的答案 注意看是属于还是不属于

定义中通常包含四项要素，即主体、对象、主观要素和客观要素。这四项要素可能全部出现在题干的定义当中，也有可能只出现其中的一项。但是，从这几年的命题情况看，一般出题人不会把这四个要素同时作为考查点，只是会选择其中的一项、两项或三项。

1．主体，就是行为或事件的发动者、当事方，如果选项不能满足定义中对主体条件的要求，即可排除。

2．对象，是指行为或事件的承受者，被指向者即某些定义必须针对某些特定的对象，如某些单位和个人。

3．主观要素，即行为者或事件的当事人主观上具有什么样动机、意图、追求一种什么样的目的。

4．客观要素，指客观上实施了什么行为，采取了怎样的行为方式，达到了一种什么程度，造成了一种怎样的结果

方法四 多定义：问啥看啥 重点看目标定义

翻译推理：最

基础 1道 排列组合：2道左右 日常结论：一道 简单 逻辑论证：6道到7到 比如：加强、削弱 真假推理：

1、道

1.明显的逻辑关联词

2.可以推出、不能推出 解题思维：先翻译 再推理

一、翻译规则之“前推后” （充分推必要）

背下来：等价关联词：（前---后）

1.如果…那么…

2.若…则…

3.只要…就…

4.为了…一定…

5.所有…都…

6……是……的充分条件 如果、就、都出现了就是前推后

推理规则之“逆否等价” A推B等价于-B推-A

肯前必肯后 否后必否前 否前 肯后不确定

二、翻译规则之“后推前”

只有…才… 等价关联词：

不…不…

除非…否则不…

…是…的基础/假设/前提/关键

…是…的必要/必不可少的条件

除非A否则不B：B---A 除非A否则 B：-B----A

谁必不可少谁放在箭头后面 每个人的成功都离不开夜以继日的努力 努力是必不可少的

注意：只要 …就… 是前推后 只有…才… 是后推前

己所不欲，勿施于人 属于不…不… 后推前 施于人——己所欲

三、且和或 A且B：二者同时成立 A或B：二者至少一个成立 要么A，要么B：二者只有一个成立

等价关联词：且：和、既…又…、 不仅…而且…、 …但是… 或：或者…或者…、…和…至少一个要么…要么… …和…只有一个

“或”的翻译：否1——1 “或”关系为真时，否定一项可以得到另一项为真

摩根定律 1.-（A且B）=-A或-B 2.-（A或B）=-A且-B 非号放进去，且变或，或变且

特征：

1.题干给出两组及两组以上对象 2.给出几组对象之间的关系

一、 排除法、代入法 1.排除法：读一句，排一句 2.代入法：选项代入题干验证 题干条件确定 优先排除 题干条件不确定 尝试代入

二、辅助技巧 最大信息（条件中出现次数最多的词） 以此作为推理起点

解题思路 1.不选。逻辑错误；无中生有：九成的错误概率；偷换概念。 2.慎选 2.慎选：比较关系；绝对词；程度；范围的扩大 3.优选 可能性的词语：可能、有的、有些。

论证的基础知识。 论点：作者所持的观点 论据：证明论点的事实和道理。 论证：证明的过程。不说 但真实存在。

找论点：

1.关键词：因此，所以

2.首尾句原则 3.结合提问方式（问啥找啥）

提问方式：最能加强、支持、赞同、证明、最不能加强、前提、假设、必要条件。

例如：楼市成交量在增长、因此楼市价格会上涨 桥：楼市成交量会影响价格 建立了联系

注意：两个不相关的东西会搭桥

常见提问方式：最能质疑、反驳、削弱、反对上述论断的是、最不能质疑上述论断的是。

解题策略

1.找突破口：先矛盾，再反对。

2.看其余：一真其余全假，一假其余全真

3.判断突破口中两句话的真假（可选） 矛盾： 第一组：A和-A 第二组A且B和-A或-B 第三组：A推B 和A且-B：如果下雨，那不上班的 下图→不上班 否定 下雨→上班 第四组矛盾 所有人都及格了的否定→有的人不及格 所有是和有的不是 所有不是和有的是 所有人都没上岸否定 有的上岸了

矛盾包含一真一假 找矛盾的技巧：对象一致 四组矛盾关系

要找矛盾 很重要 且关系否定或

反对关系 1.所有都是和所有都不是 （必有一假） 可以同假，不可同真 2.有的是和有的不是 （必有一真） 可以同真，不可同假

翻译推理——关于“有的” 有的分为有一个 有一部分 有全部 注意：有的人及格不能推出有的人没及格翻译形式： 有的1是2等于有的2是1有的公务员是党员=有的党员是公务员 有的不要用逆否

考。

2019年新增了1道立体拼合，空间类的考点呈多样化的趋势。通过近五年的考题还可以发现，空间重构图形展开图的复杂程度在逐年增加。相对面、相对位置法和画边法等，即可快速解题。这就需要考生平时多练习，尤其是画边法，熟练应用。