2023广西公务员考试行测数量关系：不定方程的“定方法”

不定方程的含义

当方程中未知数的个数多于独立方程的个数，这样的方程即为不定方程。

例如：5x+4y=19，存在两个未知数x和y，只有一个方程，即为不定方程。在没有其他限定条件下，该方程有无数组解。但若设定x和y均为正整数，方程是有确定的解的。虽然解确定，但依然不能像普通方程那样解出来。那该如何解决这类问题呢?

解不定方程

(一)核心：代入排除

行测考试题目都是客观选择题，答案就在4个选项之中，所以遇到解不定方程可以采用代入排除的方法。

例1

某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工生每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导?

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B。解析：共捐款320元，包括领导的捐款数和员工的捐款数，设领导有x人，员工有y人，则：50x+20y=320，化简得5x+2y=32，另外x+y>10，这是一个典型的不定方程，可以采用代入排除法。代入A选项，x=1，则y=13.5，员工人数应为正整数，显然13.5不符合实际情况，A排除。代入B选项，x=2，则y=11，符合实际情况，且满足x+y>10，B选项满足了题干中的所有条件，则本题选择B选项。当然，大家在课下做题时也可以将C、D选项代入进行验证。

我们可以看出，代入排除法可以解决不定方程的问题。但运气不好，需要代很多次，比较浪费时间。我们也可以利用一些数字的性质来优先排除。

(二)排除方法

1.整除特性：当未知数的系数与常数项之间存在公约数时，可以利用整除特性进行排除。

例2

设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则b的值为( )。

A.9 B.13 C.11 D.15

答案C。解析：a、b为未知数，则已知的数据就只有系数11、7和常数项132了。观察发现，11和132有共同的约数11，那么11a和132均为11的整数倍，7b也为11的整数倍，很显然7不是11的倍数，则b为11的倍数，选项中只有C满足要求，选择C选项。

2.尾数法：当未知数的系数为5或5的倍数时，可以借助尾数法进行排除。

例3

超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了10多个盒子刚好装完，问两种包装盒相差多少个?

A.3 B.4 C.7 D.13

答案D。解析：设大小包装盒的个数分别为x和y，由题意可知12x+5y=99，且10

3.奇偶性：当未知数的系数一奇一偶时，可以结合奇偶性进行排除。

例4

共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得也不扣，最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，合格的共有( )个。

A.13 B.12 C.15 D.14

答案B。解析：设合格的玩具有x个，不合格的有y个，未完成的有z个，则：x+y+z=20，5x-2y=56，所求为x。其中第二个式子5x-2y=56只涉及了x和y两个未知数，更易于分析。观察：未知数的系数分别为5和2，一奇一偶。其中2y和56一定为偶数，则5x一定为偶数，即x为偶数，排除A、C选项。代入B，x=12，y=2，z=6，满足题目中的所有条件，本题选B。

综上，大家在解决不定方程问题时，当未知数要求为正整数时，我们可以快速思考，选择合适的方法进行求解。