全错位排列公式推导

全错位排列公式推导如下：

当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn-2。

当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为Dn-1。

对于情况较少的排列，可以使用枚举法。

当n=1时，全排列只有一种，不是错排，D1= 0。当n=2时，全排列有两种，即1、2和2、1，后者是错排，D2= 1。

当n=3时，全排列有六种，即1、2、3；

1、3、2；

2、1、3；

2、3、1；

3、1、2；

3、2、1，其中只有有3、1、2和2、3、1是错排，D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。

全错位排列被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

意思就是5的错位重排数。

在数学排列组合中记n的错位重排数就为Dn，所以D5就是5的错位重排数。

数学中的排列是指从给规定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给规定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，将其组合，不考虑排序。排列组合是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况的总数，排列组合与古典概率论关系密切，排列组合是组合学最基本的概念。