求解数列的通项公式的方法？

等差数列，等比数列的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1)

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d

an=ak+(n-k)d

(其中a1为首项、ak为已知的第k项)

当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn=

Sn=

Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式：

an=

a1

qn-1

an=

ak

qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n

a1

(是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=

Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m

-

S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m

-

S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an

bn}、

仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

(为什么？)

24、{an}为等差数列，则

(c>0)是等比数列。

25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}

(c>0且c

1)

是等差数列。

26.

在等差数列

中：

（1）若项数为

，则

（2）若数为

则，

27.

在等比数列

中：

（1）

若项数为

，则

（2）若数为

则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

①

an+1-an=……

如an=

-2n2+29n-3

②

(an>0)

如an=

③

an=f(n)

研究函数f(n)的增减性

如an=

33、在等差数列

中,有关Sn

的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当

>0,d<0时，满足

的项数m使得

取最大值.

(2)当

<0,d>0时，满足

的项数m使得

取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

裂项法求和

例题

1/1*4+1/4*7+1/7*10.........1/(3n-2)(3n+1)

怎么解这种不是n(n+1)的裂项法阿？

解答

1/(3n-2)(3n+1)

1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)

只要是分式数列求和,可采用裂项法

裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数

an=a1+(n-1)d

sn=na1+n(n-1)/2*d

例题：在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为sn,且s10=s15,求当n取何值时,sn取得最大值,并求出它的最大值.

因为a1=20,s10=s15

所以10*20+10*9/2*d= 15*20+15*14/2*d

所以d=-5/3

所以an=20+(n-1)*(-5/3)=(-5/3)*n+(65/3)

所以a13=0.即当n≤12时,an＞0,n≥14时,an＜0.

所以当n=12或13时,sn取得最大值,且最大值为

s12=s13=12*20+12*11/2*(-5/3)=130