牛吃草的问题为什么可以用牛的数量直接减去草生长的速度？

举个例子：

有一块草地，每天匀速长出青草，可供23头牛吃9周或供27头牛吃6周，那么可供21头牛吃几周呢？

解：

设1头牛1周吃草量为1

23头牛吃9周，共吃草：23*9=207

27头牛吃6周，共吃草：27*6=162

9-6=3周长出的草量：207-162=45

1周长出的草量：45/3=15

原有草量：207-9*15=72

72/（21-15）=12（周）

答：可供21头牛吃12周。

15就是草1周的生长速度，用前后两次的草量变化即可求出。

牛吃草问题概念及公式：

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

工程问题公式：

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

工作量=工作效率×时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子.

一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

再根据基本数量关系式，得到

所需时间=工作量÷工作效率

例题： 一项工程，甲单独施工10天完成，乙单独施工15天完成。两人合作几天完成这项工程？

分析：把这项工程看做单位“1”，甲单独施工10天完成，就说明甲一天可以完成这项工程的1/10，也就是甲的工作效率是1/10；同样的道理，乙单独施工15天完成，就说明乙一天可以完成这项工程的1/15，也就是乙的工作效率是1/15。

现在两人要合作，那么他们一天就可以完成这项工程的（1/10+1/15），也就是他们的工作效率之和是（1/10+1/15）。要求合作几天完成，就用：

工作总量÷工作效率之和=工作时间

●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

2+8+ 1= 11（天）.

答：从开始到完工共用了11天.

解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

解四：

方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)

甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）

列算式为：

1、÷（1/10+1/15）=6（天）

答：两人合作6天完成这项工程。

行程问题公式：

基本公式：路程=速度×时间

路程÷时间=速度

路程÷速度=时间

平均速度=总路程÷总时间

相遇问题（直线）

甲的路程+ 乙的路程=总路程

相遇问题（环形）

甲的路程+乙的路程=环形周长

编辑本段

追及问题

追及时间=路程差÷速度差

速度差=路程差÷追及时间

追及时间×速度差=路程差

追及问题（直线）

距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间

追及问题（环形）

快的路程-慢的路程=曲线的周长

编辑本段

流水问题

顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速－水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速－水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

船速：(顺水速度+逆水速度）÷2

编辑本段

解题关键

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速，（1）

逆水速度=船速-水速.（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

水速=顺水速度-船速，

由公式（2）可以得到：

水速=船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

时间*速度=时间

例1： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为

28-4×2=20 （千米）

20×2=40（千米）

40÷（4×2）=5（小时）

28×5=140 （千米）。

综合式：（28-4×2）×2÷（4×2）×28