2023国家公务员考试行测数量关系一元二次函数求极值

一、什么是一元二次函数

一元二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。其图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。当a>0时，函数图像开口向上，此时y有最小值;当a<0时，函数图像开口向下，此时y有最大值。

二、一元二次函数极值的求解方法

方法一：利用一元二次函数顶点公式求解

对于一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，其顶点坐标为也就是当

方法二：利用和定、差小、积大求解

和定、差小、积大是指若两个式子的和为定值，两个式子间的差越小(最小为0)，则两个式子的乘积越大。

下面我们通过两个例题来看一下这两种方法在解题时应该如何运用。

例1

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是:

A.5元 B.6元 C.7元 D.8元

答案C。解析：

方法一，设应降低x元，总利润为y元。则降低后的销售单价为(100-x)元，销量为(120+20x)件，进货单价为80元，则总利润y=(100-x-80)×(120+20x)，整理可得y=-20x²+280x+2400，当y能取到最大值，故本题选C。

方法二，设应降低x元，总利润为y元。则降低后的销售单价为(100-x)元，销量为(120+20x)件，进货单价为80元，则总利润y=(100-x-80)×(120+20x)=20×(20-x)×(6+x)，因为(20-x)+(6+x)=26，是定值，当且仅当20-x=6+x，即x=7时，y取最大值。故本题选C。

例2

某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。那么，在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

A.60 B.80 C.90 D.100

答案C。解析：

方法一，设苗木单价提高0.4x元，则可卖出(20-x)万株，此时收入为y万元，y=(4+0.4x)×(20-x)，整理可得y=-0.4x²+4x+80，此时函数最大值为故本题选C。

方法二，设苗木单价提高0.4x元，则可卖出(20-x)万株，此时收入为y万元，y=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)，因为(10+x)+(20-x)=30，是定值，故当且仅当10+x=20-x，即x=5时，y取最大值，收入最大为(4+0.4×5)×(20-5)=6×15=90万元。故本题选C。

通过上面两个例题，我们可以看到无论是采用一元二次函数的顶点公式还是采用和定，差小，积大的方法都可以解出题目。方法一需要我们将函数整理为一般式;方法二需要我们将函数整理成两式相乘，且两式未知数系数互为相反数的形式，之后再使两式满足和定、差小的条件。那么，对于方法各位考生可以选择适合自己的，只要通过练习，达到顺利解题的目的即可。