2023国家公务员考试行测数量关系：当一元二次函数极值遇上零点

理论铺垫

对于一元二次函数，需要了解到其图像是关于对称轴对称的抛物线，并且最值是在对称轴位置取得。一元二次函数表达式有一般式、顶点式和零点式等多种表达式，而在考试中主要是针对零点式的考查，所谓的零点式是什么呢?

零点式指的是形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数，若y=0有两个实根此表达式即为零点式，同时抛物线与x轴有交点这两个点即为零点，而零点是关于对称轴对称的，所以y的最值在对称轴取得。

对于使用零点法解决一元二次函数的步骤为：

第一步：通过观察二次项的系数a，确定抛物线开口方向。若a>0，抛物线开口向上，有最小值，没有最大值(建议删掉);若a<0，抛物线开口向下，有最大值，没有最小值(建议删掉)。

第二步：令y=0，得出两个实根

第三步：通过零点坐标得出对称轴，将x数值代入函数式得出y的最值。

例题

例题1

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：

A.5元 B.6元 C.7元 D.8元

解析C。所求为销售利润最大化，题干中给出的条件为进价、售价和销量，可以利用公式：总利润=(售价-进价)×销量，表达出数据之间的关系，不妨设销售单价应降低的金额为x元，则每天多售出20x件，可得总利润y=(100-x-80)(120+20x)，得出零点式的一元二次函数表达式。

第一步：通过观察二次项的系数a=-20，a<0，抛物线开口向下，有最大值，没有最小值(建议删掉)。

第二步：令y=0，得出两个实根同时可知零点为A(20, 0)和B(-6, 0)。

第三步：通过零点坐标得出对称轴即当销售单价降低7元时，得到销售利润最大值。故选择C项。

例题2

某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。那么，在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

A.60 B.80 C.90 D.100

解析C。所求为销售收入最大化，题干中给出的条件为售价和销量，可以利用公式：总收入=售价×销量，表达出数据之间的关系，不妨设提高金额为0.4x元，则每天少售出x万株，可得总收入y=(4+0.4x)(20-x)，得出零点式的一元二次函数表达式。

第一步：通过观察二次项的系数a=-0.4，a<0，抛物线开口向下，有最大值，没有最小值(建议删掉)。

第二步：令y=0，得出两个实根同时可知零点为A(-10, 0)和B(20, 0)。

第三步：通过零点坐标得出对称轴即x=5时，得到销售收入最大值y=(4+0.4×5)×(20-5)=90万元。故选择C项。

通过上述例题的解析，各位对零点式的一元二次函数解题思路应该能有一个认识，需要依照对题干的理解整理出函数的表达式，然后利用解题步骤逐步推出即可。各位考生在以后做题中需要多加练习，熟练掌握。