矩阵的特征方程式是:
A * x = lamda * x
这个方程可以看出什么?矩阵实际可以看作一个变换,方程左边就是把向量x变到另一个位置而已;右边就是把向量x作了一个拉伸,拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了,表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长(或缩短)lamda倍,仅此而已。
值得注意的是,我们说的特征向量是一类向量,因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程,当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量,而且它们也都对应同一个特征值。
如果特征值是负数,那说明了矩阵不但把向量拉长(缩短)了,而且让向量指向了相反的方向。
矩阵的意义上,先介绍几个抽象概念:
1、核:
所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合,通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,如果你不幸落在了这个矩阵的核里面,那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。
特别指出的是,核是“变换”(Transform)中的概念,矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示,联系到矩阵时才用A,本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间,也就是全部向量原来在的空间。
2、值域:
某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合,通常用R(A)来表示。假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,这个矩阵的.值域表示了你将来可能的位置,你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩(Rank)。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。
3、空间:
向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以(也只能)在空间中变换。使用坐标系(基)在空间中描述向量。
不管是核还是值域,它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面,你们不管是相加还是相乘都还会在核里面,跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。
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