对称区间定积分如何转化为两个区间积分

 2024-11-29 23:48:01  阅读 701  评论 0

摘要:1这道定积分问题,为什么要变区间的理由见上图。2对于这道定积分问题,求解用两种方法。3求这道定积分问题的第一种方法,就是利用对称区间被积函数是偶函数,积分等于对称区间积分的2倍。这样,就将积分区间变小了,举带薯从而,平方再开方就开出来了。4求这道定积分问题的第

1这道定积分问题,为什么要变区间的理由见上图。

2对于这道定积分问题,求解用两种方法。

3求这道定积分问题的第一种方法,就是利用对称区间被积函数是偶函数,积分等于对称区间积分的2倍。这样,就将积分区间变小了,举带薯从而,平方再开方就开出来了。

对称区间定积分如何转化为两个区间积分

4求这道定积分问题的第二种行耐方法,利用积分区间的可加性的性质,将积分化正者为两个区间积分相加。注意在第四象限时,有一个负号。

具体的这道定积分问题要变区间的详细步骤及说明见上。

二重积分中的对称是什么意思?

这里的x和t都是棚基假变量,在定积分中可以任意换不同的字母

至于为啥是换x而不是- x呢这就是不定积分和定积分的分别

在不定积分的计算中,所有的换元都是暂时性的,在取积分后要根据还原等式回代

所以∫ f[g(x)]g'(x) dx,令u = g(x),du = g'(x) dx

==> ∫ f(u) du = F(u) + C

==> ∫ f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C,F(x)为f(x)的原函数

在定积分的计算中,所有的换元都是永久性的,它们的换元变化都移到积分限上,所以积分后可以直接沿用结果中的字母当然,你亦可以先找出原函数然后再带入上下限,只是积分限没链耐谨改变

例如∫(a→b) f[g(x)]g'(x) dx,令u = g(x),du = g'(x) dx

当x = a,u = g(a);当x = b,u = g(b)

==> ∫(g(a)→g(b)) f(u) du = [F(u)]:(g(a)→g(b)) = F[g(b)] - F[g(a)]

==> ∫(a→b) f[g(x)]g'(x) dx = F[g(b)] - F[g(a)]

这和直接找出原函数后再带入a和b的亩禅做法没分别,4,因为那只是字母啊 只是代表一个自变量 不用管它是x还是t还是y,1,在证明对称区间上函数的定积分性质时的问题

令x=-t,∫f(x)dx(-a→0)=∫f(-t)(-dt)(a→0)=∫f(-t)dt(0→a)=∫f(-x)dx(0→a)其中为什么∫f(-t)dt(0→a)=∫f(-x)dx(0→a)是直接将t换成x吗如果是的话为什么可以直接替换而不用考虑x=-t

积分区域关于直线 y=x 对称的二重积分

(1) {D区域} ∫∫f(x,y)dxdy = {D1区域}∫∫f(x,y)dxdy, 当f(y,x) = f(x,y)

= 0 ,当f(y,x) = -f(x,y)

其中D1={(x,y)|(x,y)∈D,y≥x) 也可换为 D2={(x,y)|(x,袜绝y)∈D,y≤x};

(2) {D区域} ∫∫f(x,y)dσ = {D区域}∫∫f(y,x)dσ

这是二重积分的特殊性质,非常有用。该性质表明,当积分区域D关于直猜好春线y=x对称时,二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置,常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

记号

通用的区间记号中,圆括号表示“排除”,方括号表穗耐示“包括”。例如,区间(10, 20)表示所有在10和20之间的实数,但不包括10或20。

另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之间的实数,以及10和20。而当我们任意指一个区间时,一般以大写字母 I 记之。

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