施密特正交化过程两个向量组为什么等价？谢谢

这个写起来太麻烦,

我把意思说一下吧

施亏缺密特正交绝胡化过程:

b1

=

a1

b2

=

a2

-

k1b1

是这样吧

变换一下就有

b1

=

a1

b2

=

a2

-

k1a1

所销宏辩以,

b1,b2

可由

a1,a2

线性表示

同样有

a1

=

b1

a2

=

b2

+

k1b1

所以

a1,a2

可由

b1,b2

线性表示

所以

现个向量组可互相线性表示,

所以它们等价

可推广到一般情况

施密特正交化在解答线性代数题目的时候有何用处？ 也就是什么题型会遇到，从中有什么作用？

正交化使得计算更加方便，最简单的例子就是求逆，蔽隐需要计算半天，但正交阵求逆很简单，只需转置一下就可以了。从几何上说，正交基就像一个欧式空间，比如三维空间的x轴，y轴，z轴，没有正交化的就是非欧几何，比如郑橘说用（1 0 0）（1 1 0） （1 1 1）也可以宏丛厅作为一组基，但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，最后可能会使得误差过大计算结果根本不可用，而正交基不会发生这种问题。

在将n阶实对称阵A对角化的过程中，我们希望得到一个手物正喊薯州交阵P，使得P-1AP=∧。如果求得的特征值没有重根，对应的n个特征向量是两两正交的，这时n个特征向量组成的矩阵就是正交阵P；但如果特征值有r重根，那对应r重根特征值可求得r个线性无关特征向量，这r个特征向量虽与其他特征值对应的郑蔽特征向量正交，但这r个特征向量本身并不一定正交。这时，需要通过施密特正交化，求得另外r-1个正交特征向量（可以证明通过施密特正交化求得的正交向量仍是特征向量，具体证明可参见附件相关章节），这样通过正交化后求得的n个特征向量都是两两正交的，这样才能得到正交阵P。当然这个过程中还可再将P单位化，即得到规范正交阵P，这样可使得求P的逆矩阵更加方便。

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