2021年南昌师范学院专升本高等数学考试大纲

一、课程类别：理工科专业专升本课程

二、编写说明

1. 本考核大纲参考同济大学数学系的教材《高等数学》进行编写。

2. 本大纲适用于理工科专业专升本考试。

三、课程考核的要求与知识点

第一章 函数、极限与连续

(一)函数

1. 考核知识点

(1) 函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数

(2) 函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性

(3) 函数的四则运算与复合运算

(4) 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

(5) 初等函数

2. 考核要求

(1) 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值;

(2) 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

(3) 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复

合函数的复合过程。

(4) 掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

(5) 了解初等函数的概念。

(二)极限

1. 考核知识点

(1) 数列极限的概念：数列极限的定义

(2) 数列极限的性质：有界性、四则运算定理、夹逼定理

(3) 函数极限的概念：x 趋于无穷时函数的极限，函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系

(4) 函数极限的定理：夹逼定理、四则运算法则

(5) 无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、两个无穷小量阶的比较

(6) 两个重要极限

2. 考核要求

(1) 理解极限的概念(对定义中 的描述不作要求)，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2) 掌握极限的四则运算法则。

(3) 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等阶)。会运用等价无穷小量代换求极限。

(4) 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续

1. 考核知识点

(1) 函数连续的概念：函数在一点连续的定义、左连续和右连续、函数在一点连续的充分必要条件、函数的间断点及其分类

(2) 函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算、复合函数的连续性

(3) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理(含零点定理)

(4) 初等函数的连续性

2. 考核要求

(1) 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

(2) 会求函数的间断点及确定其类型。

(3) 掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理证明一些简单命题。

(4) 理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

第二章 导数与微分

1. 考核知识点

(1)导数概念：导数的定义、左导数与右导数、导数的几何意义、可导与连续的关系

(2)求导法则与导数的基本公式：导数的四则运算、导数的基本公式

(3)求导方法：复合函数的求导法、隐函数的求导法、由参数方程确定的函数的求导法

(4)高阶导数的概念：高阶导数的定义、高阶导数的计算

(5)微分：微分的定义、微分与导数的关系、微分法则

2. 考核要求

(1)了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法

(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

(6)理解函数的微分概念，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

第三章 中值定理与导数的应用

1. 考核知识点

(1)中值定理：罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理

(2)洛必达(L’Hospital)法则

(3)函数增减性的判定法

(4)函数极值与极值点 最大值与最小值

(5)曲线的凹凸性、拐点

2. 考核要求

(1)理解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日定理并会简单推证中值问题

(2)熟练掌握洛必达法则求“ 0 / 0 ”、“∞ / ∞ ”、“0•∞”、“ ∞ - ∞ ”、“型未定式的极限方法。

(3) 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

(4) 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大(小)值的方法，并且会解简单的应用问题。

(5) 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

第四章 不定积分

1. 考核知识点

(1)不定积分的概念：原函数与不定积分的定义、原函数存在定理、不定积分的性质

(2)基本积分公式

(3)换元积分法：第一换元法(凑微分法)、第二换元法

(4)分部积分法

2.考核要求

(1)理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

第五章 定积分

1. 考核知识点

(1) 定积分的概念：定积分的定义及其几何意义

(2) 定积分的性质

(3) 定积分的计算：变上限的定积分、牛顿一莱布尼茨(Newton - Leibniz)公式、换元积分法、分部积分法

(4) 定积分的应用：平面图形的面积、体积

2. 考核要求

(1) 理解定积分的概念与几何意义。

(2) 掌握定积分的基本性质。

(3) 理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4) 掌握牛顿—莱布尼茨公式。

(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

(6) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积

(7) 掌握旋转体的体积计算

四、课程考核实施要求

1. 考核方式

本考核大纲为理工科专业专升本学生所用，考核方式为闭卷考试。

2. 考试命题

(1) 试卷总分：

150 分

(2) 考试时间：

120 分钟

(3) 试卷内容比例：

函数、极限和连续 约 30%

一元函数微分学 约 35%

一元函数积分学 约 35%

(4) 试题难易比例

容易题 约 40%

中等难度题 约 50%

较难题 约 10%

(5) 题型有：选择题、填空题、讨论题、证明题、计算题3.课程考核成绩评定

考试卷面成绩即为本课程成绩。

五、教材和参考书

1. 教材

《高等数学》，高等教育出版社，同济大学数学系编

2. 参考书目

[1]《高等数学》，邹杨、张艳霞等，四川大学出版社

[2]《高等数学》,金宗谱等，吉林大学出版社