高等代数考研习题求解

1方程化为A^T(AX-B)=0，表示的是A列向量的一个线性组合和B的差要和A列向量张成的列空间正交。这个一定有解，这个解就是B在A列空间上的正交投影。(你的线代书应该有的，因为凳桥这就是我线代书上的一道例题)

2A、B是实对称阵，即它们可对角化。记A的特征向量为a1、a2、……、an，B的特征向量为b1、b2、……、bn。对某一向量e，A+B表示的变换是Ae+Be。又设

ai=ki1b1+ki2b2+……+kin把e表示为A特征向量的线性组虚启合：e=x1a1+x2a2+……+xnan(不小心把字母弄重复了，A、B特征只的最大最小值记成pn、qn，p1、q1吧)。现在你可以利用e关于A特征向量的线性表达式先取A变换，再枣誉猛把结果表示成关B特征向量的线性表达式；然后再利用e关于B的特征向量的表达式取B变换；把得到的结果加起来，再对比变换后的e和原来的e在B的特征向量上的取值。如果我没算错的话，应该就能证明到了。

天晚了(或者说太早了，呵呵)，我先睡睡再说。

高等代数考研题目，求所有三阶复矩阵A，使A与A^2相似

一 对3阶正交阵闷弯燃A, tr(A) = -1是-1是A的特征值的充分条件

证明只需注意正交阵的特征值都蚂虚是单位复数(实根只能为±1), 同时虚根成对

必要闹升性的反例很简单, A = -E即可(tr(A) = -3)

二 由(g(x),h(x)) = 1, 存在u(x), v(x)使u(x)g(x)+v(x)h(x) = 1

对任意a ∈ V, 取b = v(A)h(A)a ∈ L1, c = u(A)g(A)a ∈ L2

有a = b+c, 故V ⊆ L1+L2 ⊆ V, 有V = L1+L2

进一步还能证明V1+V2是直和

因为由a ∈ L1∩L2可得a = u(A)g(A)a+v(A)h(A)a = 0, 故L1∩L2 = {0}

如有不懂欢迎誉码追问：

设B是A的Jordan标准型，题目容易转化成B与B^2相似。分三种情况：

1）B是对角阵，这中情况最简单，相当于B=B^2。

2）B=

x 0 0

0 y 1

0 0 y

这时B^2=

x^2 0 0

0 y^2 2y

0 0 y^2

求出它的Jordan标准型是

x^2 0 0

0 y^2 1

0 0 y^2

这时，只要让x=x^2 , y=y^2即可。

3）键配B=

x 1 0

0 x 1

0 0 x

同2）的过程，算出B^2的Jordan标准型是庆亮哪

x^2 1 0

0 x^2 1

0 0 x^2

这时，只要让x=x^2 即可。

求出B以后，任意找一个可逆矩阵P， A = P^(-1) B P都满足题意。

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