数学界七大世纪难题是什么？

21世纪数学七大难题

最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣

布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以

下是这七个难题的简单介绍。

“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅

中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女

士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这

样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问

题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与

此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你

可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，

那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个

答案是可以很快利用内部知如盯识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被

看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook

）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样

的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来

形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有

力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些

没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来

说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表

面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸

缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说

，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球

面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体

)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的

数称为素数颂嫌；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布

并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密

相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的

所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它

对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大

约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学

之间的令人注目的关系。野橡手基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中

所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如

此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学

家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来

没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引

进根本上的新观念。

“千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气

式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯

托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的

理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托

克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾

经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正

如马蒂雅谢维奇(YuVMatiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一

般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷

通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特

别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(

1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

小学数学课堂互动研究的主要问题有哪些

数学是个很大的领域，有很多的分支，不同分支的前沿问题是不一样的，比如理论物理也用数学，那么蔽做在这个领域，比较前沿的问题是线论，n维空间的矩阵，等等搭燃，但是宏枝衡如果别的分支，比如数论，就会研究黎曼猜想。 可以参考一下希尔伯特的列出的问题，上面的很多问题至今还没有解。

高等数学研究的问题有哪些？希望列举一些

1巧用学生的话

课堂教学过程中，教师扮演的是组织者和主持人的角色，必须抓住学生语言中有意义的话，穿针引线，引发学生之间的互动，最大限度地促进学生之间的合作。数学课堂上，学生由穗困庆于表达能力的限制，说出的话往往很少能直达题意，教师必须敏锐的抓住教学中学生话语中有意义的部分，帮助学生进一步思考完善，引发互动，从而顺利完成教学目的。

2妙用学生的错

心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，猜握不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”因此，教师要以平和的心态对待学生的错误，并能独具慧眼，善于捕捉稍纵即逝的错误，使错误巧妙地服务于教学活动。比如，数学课上让学生板演一些易错题，集体纠正；学生回答错误时，听取其他同学的建议，鼓励学生自己修改错误，这些都比教师简单的指出错误来得更有效果。

3善用学生的问

建构主义学习理论认为，学生已有的知识不足以生成和建构新思想和新观尺慎念时，说明新旧知识之间有一段距离——这段距离往往表现为问题，建构动态开放的数学课堂，就要通过培养学生的质疑、探究等多种思维方式，帮助学生发现并走完这段距离。这就需要教师平时积极锻炼学生的语言表达能力和思维运动能力，培养学生敢于质疑、勇于探究的学习品质。

数学解题方法的研究的研究目的

大学阶段的数学就要看你所学的专业了，如果不是数学专业，基本上就是简单的线性代数和高等数学，但要比高中难得多，涉及到矩阵，行列式，微分，积分，级数，其中积分是胡游销难点，除一般的积分外还有双重积分和多重积分等等一系列的内容。

如果是数学专业的学生的话，一年级会学习数学分析，和高等代数，其实别的专业学的线性代数和高等数学就是这两门课程的精简版，二三年级还会学到概率论与统计，常微分方程，数值分析，运筹学，多元统计分析等。这些课程的深度是中学数学所不能比的。

其实数学的分支是很多的，高等数学当中你可以针对某一个方面进行深入的研究，而不是要你对所有的数学知识都掌握，所有的数学家都是有其重点的研究方向的。

有人说学了数学≠好工作，这是因为学的不够好，数学在很多领域都是有着重要的研究价值的，包括人口数量的预测，国家经济数据的统计，都是很重要的，还有就是计算机方面裤游，一个优秀的程序员必须有着扎实的数学知识，最重要的就是经济领域，你可以查查诺贝尔经济学奖得主，很多都有着深厚的数学功底。数学在医学成像方面也有应用，现在医院里用的CT和核磁共振就是数学应用最具体也是最造福人的例子。现在可以说每一个行业都会用到计算机，计算机中的数学算法是其能处理数据的最根本的保证。

就我国来说，可以给你举一个例子，你可以百度王小云这个女数学家，她对数学算法的研究帮助她破译了美国政府使用的密码，磨纤以及对MD5、HAVAL－128、MD4和RIPEMD等四个著名密码算法的破译，在国际上引起了轰动。当老师只是大多数人对数学应用的印象。

其实，数学就是研究并解决实际问题的，国家每年都会举行大学生数学建模大赛，感兴趣的话可以百度一下数学建模往年的题目，都是生活中的实际问题用数学的方法加以解决，也是大学阶段最重要的全国性赛事之一。

数学四大领域都研究什么？

您好，数学解题方法的研究目的，主要有以下几个方面：

（1）数学解题方法为数学问题的做仔求解和数学知识的获取提供了可能，没有数学解题方法，就没有数学的进展。

（2丶人类在认识世界和改造世界的过程中，总是要根据一定的目的为自己确定各式各样的任务，我们不但要提出任务，而且要解决完成任务的方法问题。例如，我们的任务是过河，但是没有桥或没有船就不能过，不解决桥或船的问题，过河就是一句空话。数学方法的研究就相当于这里讲的桥和船的问题。数学解题方法的研究目的是最终是为了解决实际问题。

（3）数学解题方法的研究，将具有相同性质问题所用的通用方法归纳出敬培来，是数学方法的核心，也是现代数学发展的基石。例如，微积分学的创立与发展几乎是数学通法创立与发展的范例。微元法、拉格朗日乘数法、洛必达法则等，不仅是微积分学知识的重要组成部分，也为解决具体的问题提供了强有力的办法；欧拉在解决“七桥问题”同时，给亮胡唯出了欧拉定理这个定理，为解决同类的图论问题提供了有力的方法，同时还为图论的研究和发展指明了方向；再如泛函分析中的压缩映射定理，其证明方法是迭代法，而这个迭代法在数值分析、动力系统等诸多领域有着广泛的应用，压缩映射定理也成为不动点定理，在求解诸如代数方程、微分方程、积分方程等各种各样的方程和数理经济学等诸多领域里都有着广泛的应用。

（4）数学解题方法的研究目的是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等一般法则的一门学问。

数学分析的核心问题是什么

1算术的研究 主要是指《高斯的名著《算术研究》》 1801年，高斯的名著《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成的。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800年，高斯将手稿寄给法国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资金发表。 目录 内容范围 学术意义 核心课题 同余理论 二次互反律 二次互反律发展型的理论 数论问题中复数的作用 首先是对复数的承认 复数带进了数论内容范围 学术意义核心课题 同余理论 二次互反律 二次互反律发展型的理论数论问题中复数的作用 首先是对复数的承认 复数带进了数论内容范围在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。” 学术意义《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。 核心岁轮课题全书共有三个核心课题：同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。 同余理论同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明了费马小定理。 二次互反律二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美国现代数学家狄克逊（1874—1954）所说：“它是数论中最重要的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已经得歼雀含出了这个定理及其证明。发表在《算术研究》中的则是另一种证明。 二次互反律发展从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及与此相联系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而简单，高斯又发展出了复整数和复整数数论；而它的进一步结果必然是代数数理论，这方面由高斯的学生戴德金（1831—1916）作出了决定性的贡献。 型的理论在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。 数论问题中复数的作用高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。 首先是对复数的承认这是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该定理的高超证明，使数学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。 复数带进了数论高斯不仅如此，他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（±1，±i）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能转化为复数的定理（扩大到复数领域）。 当时的评价《算术研究》似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解，但是，它完全不是给初学者看的。在当时，读懂这本书的人较少。困难不是详细氏笑的计算示例而是对主题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有7个部分，人们风趣地称它是部“加七道封漆的著作”。 传播《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝，把书藏在罩袍里贴胸的地方，走到哪儿带到哪儿，一有空就拿出来阅读。晚上睡觉的时候，把它垫在枕头下面，在睡前还读上几段。功夫不负有心人，凭着这股坚韧不拔的毅力，狄利克雷终于第一个打开了“七道封漆”。后来他以通俗的形式对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作品逐渐为较多的人所理解和掌握。 数学界的认可关于《算术研究》和狄利克雷之间还有一段感人的故事。1849年7月16日，正好是高斯获得博士学位50周年。哥廷根大学举行庆祝活动，其中有一个别出心裁的节目，他们要高斯用《算术研究》中一页原稿来点燃自己的烟斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到这个情景完全惊呆了。在最后一刹那，他不顾一切地从自己恩师的手中抢下了这页原稿，并把它珍藏起来。这页手稿直到狄利克雷逝世以后，编辑人员在整理他的遗稿中才重新发现了它。 《算术研究》发表后，拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数学正濒临绝境，当他看完《算术研究》后兴奋地看到了希望的曙光。这位68岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺： “您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。我认为，最后一章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现，人们作了长时间的探索。……相信我，没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。” 关于这部著作，19世纪德国著名数学史家莫里茨·康托曾发表过高见，他说： “高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。” 《算术研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到这部书时说：“《算术研究》是历史的财富。” 高斯的成就高斯原本计划继续撰写《算术研究》第2卷，但由于工作的变化和研究兴趣的转移，这一计划未能实现。 高斯的许多数学成就都是在他去世后才被人们发现的。从1796年3月30日高斯用尺规作出正17边形后，他开始记科学日记，并且长期坚持下来，到1814年7月9日。高斯的科学日记是1898年哥廷根皇家学会为了研究高斯，向高斯的孙子借来的。从此，这本科学日记的内容才在高斯逝世43年后流传。这本日记共146项研究成果，由于仅供个人使用，所以每一条记录往往只写三言两语，十分简短。有的条目简单得甚至专家也摸不着头脑。 1796年10月11日， Vicimus GEGAN 1799年4月8日， 这两项研究成果，至今仍是个谜。 在1796年7月10日中有这样一条日记： EYPHKA！num=△+△+△ EYPHKA是希腊文找到了的意思。当年，阿基米德在洗澡的时候突然发现了浮力定律，兴奋地从浴缸一跃而起，在大街上狂奔高喊的就是“EYPHKA！”高斯在这里找到了费马提出的一个困难定理的证明：每个正整数是三个三角数之和。 高斯的科学日记一经披露，轰动了整个科学界。人们第一次了解到，有许多重大成果高斯实际上早就发现，而公开发表得很晚，有的甚至生前根本没有发表。有关椭圆函数双周期性的内容一直到日记发表的时候人们才知道，以致这个重大成果在日记里整整沉睡了100年。1797年3月19日的一条日记清楚表明，高斯已经发现了这个成果；后来又有一条，说明高斯还进一步认识到一般情况下的双周期性。这个问题后来经过雅可比（1804—1851）和阿贝尔独立研究发展，才成为19世纪函数论的核心。类似的例子不胜枚举。 这样大量的重大发现在日记里竟被埋没了几十年甚至一个世纪！面对这一不可思议的事实，数学家无不大为震惊。如果及时发表这些内容，无疑会给高斯带来空前的荣誉，因为日记中的任何一项成果都是当时世界第一流的。如果及时发表这些内容，就可以免得后来的数学家在许多重要领域中的苦苦摸索，数学史因而将大大改写。有的数学家估计，数学的发展可能要比现在先进半个世纪之多。 当时的社会环境和高斯个人性格为什么会出现这现象呢？这与当时的社会环境和高斯个人性格有十分重要的关系。 18世纪，数学界贯穿着激烈的争论，数学家们各持己见，互相指责，由于缺乏严格的论证，在争论中又产生了种种错误。为了证明自己的论点，他们往往自吹自擂，互相讽刺挖苦，这类争论给高斯留下了深刻的印象。高斯虽然出身贫微，却和他的父母一样，有着极强的自尊心，加之他对科学研究的极端慎重的态度，使他生前没有公开这本日记。他认为，这些研究成果还须进一步加以论证。他在科学研究上遵循的格言是“宁少毋滥”。 高斯这种严谨的治学态度，虽然使后辈科学家付出了巨大的代价，但是，也给科学研究带来了好处。高斯出版的著作至今仍然像第一次出版一样正确而重要，他的出版物就是法典，比人类其他法典都更高明，因为不论何时何地从未发现其中有任何毛病。 高斯治学的态度正如他在自己的肖像下工工整整地写下的《李尔王》中的一段格言一样： “大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。” 高斯在数学领域中的成就是巨大的。后来人们问起他成功的秘诀，他以其特有的谦逊方法回答道： “如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。” 为了证明自己的结论，有一次他指着《算术研究》第633页上一个问题动情地说： “别人都说我是天才，别信它！你看这个问题只占短短几行，却使我整整花了4年时间。4年来我几乎没有一个星期不在考虑它的符号问题。”更多的你可以参考这个网址： >

数学分析的主早链要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要好慧的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连陆袜孙续，微分和积分。数学分析的研究对象是函数，当然核心就是分析函数

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