曲率的定义

在数学中，曲率（curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的答枣程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二弊宏者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。

曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象（例如曲面，或者一般的n维空间），曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。

弧的切线转角与该弧长之比的绝对值称作该弧的平均曲率，记作

曲率公式

曲率公式

当沿曲线L趋向于M时，若弧的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线L在点M处的曲率，记作K，即或。

2计算公式编辑

设曲线的直接坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为,所以

又,故曲线L在M点处的曲率为

设曲线是由参数方程给出，利用参数方程求清卜拆导法可得

高数中的曲率是怎么理解？求大神帮助

导数的几何意义有什么呢同学们还有印象吗。如果没有了，快来我这里瞧瞧。下面是由我为大家整理的“导数的几何意义有什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

导数的几何意义有什么

导数(Derivative)是枝弊微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

导数的应用

导数与物理几何代数关系密切在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度

导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念又称变化率

如一辆汽车在10小时内走了 600千米它的平均速度是60千米/小时但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为

s=ft

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是

[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]

当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度 。

自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度。

拓展阅读：导数的概念及其几何意义的数学知识点

一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率

上式中的值可正可负，但不为0f(x)为常数函数时，

瞬时速度:

如果物体的运动渣拆规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即

若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限

函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或，即。

导函数:

如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a，b)内的导函数，简称为f(x)在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′即f′(x)=

切线及导数的几何意义:

(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线，当点Pn(xn，f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。

(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。

瞬时速度特别提醒:

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值

②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，

函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:

①当时,高考化学，比值的极限存在，则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数

②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但而函数的增量可正可负，也可以为0

③在点x=x0处的导数的定义可变形为:

导函数的特点:

①导数的`定义可变形为:

②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，

③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，

④并不是所有函数都有导函数

⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定猛梁族义域(a，b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值

⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量，左端点无减量)

导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒:

①利用导数求曲线的切线方程求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0)

②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在(x0，f(x0))处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直

③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点;后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，

④显然f′(x0)>0，切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)

曲率的最大值的意义

圆弧的弯曲程度是处处一样的，即是一个常数，所以予以定义是有意义的，这就是曲率。圆弧的曲率被定义为单位弧长所对的弧度，数值上等于圆弧半径的倒数。半径较小的圆弧确实弯得更急，即曲率更大，所以这样定义的曲率是合理的。 一般曲线的伏物弯曲程度不是处处相等的，故定义整体曲率没有意义森陵，但曲线在某点处的弯曲程度具有内秉性，予以定义是有意义的，显然把它定义为曲线在该点的密切圆的曲率是自然合理的。 那么密切圆是什么呢？我们先看切线是什么——切线是极限弦。弦是连接曲线上两点的线段，当两点非常接近时，弦用来代替所夹曲线，这是一种最朴素的逼近。让我们来改进这个逼近：在曲线上取很近的3点，作连结这3点圆弧(当然是劣弧），用圆弧来代替那段曲线，因为圆弧是仅次于直线的简单曲线。当3点无穷接近时，就得到极限圆弧，沿圆弧画出的极限圆就是密切此厅戚圆。 这样定义的曲线曲率，用微分公式表示当然是da/ds，即单位弧长所弯的弧度。 显然，曲率是曲线的内秉几何量，即与坐标系的选取无关，而da/dx就不是，它显然是相对于坐标系的一个量。

曲率的意思：指曲线的曲率，就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

意义：好举

曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量没岁”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速友察碧度）来求，具体请参见法向加速度。

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