变限积分与不定积分一样吗?

不一样，但有关联。当上限为积分变量，下限为常数时候，是同积分函数的不定积分的其中一个。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

注：

1函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

3从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

扩展资料：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，颤举掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变做洞键量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，纯巧所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料：

参考资料：

变限积分函数

变上限积分 是微积分基本定理之一，通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理，它是连接不定积分和定积分的桥梁，通过它把求定积分转化为求原函数侍芹孝，这样就使数学家从求定积分的和式极限中解放出老稿来了，从而可以通过原函数来得到积分的值！ 定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于（a,b)，取βX足够小，使x+βX属于（a,b），则存在函数F(x)=∫(0,x)f(x)dx, 使F(x)的导数为f(x);

由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的首配方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。f#[6]D]P

变积分上限函数与下限的关系是什么 变积分上限函数求导时与积分下限有关吗计算时呢

两边州宽对x求导，

tf(xt)=tf(x)+∫(1t)f(u)du

代入x=1

tf(t)=5t/枯孝2+∫f(u)du

对t求导

f(t)+tf'(t)=5/2+f(t)

f'(t)=5/2t

f(t)=5lnt/2+C

f(1)=5/2得f(t)=5lnt/册败亮2+5/2，t换成x即得

什么是变限积分性质及应用

下面的例子或许会对你的理解有所帮助：

设F(x)=∫f(t)dt (1)

1当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时,得：

(a,b)∫f(t)dt=F(b)-F(a)

如对上式微分,因F(b)和F(a)都是常数,则得：

[(a,b)∫f(t)dt]ʹ=[F(b)-F(a)]ʹ=0

2当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是变数x时,得：

(a,x)∫f(t)dt=F(x)-F(a)

从上式可知,积分的结果与下限有关隐租可是因F(x)是x的函数,F(a)是常数,如对上式微分,则得：

[(a,x)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x)-Fʹ(a)=f(x)-0=f(x)

因常数的导数是0,上面的导数就与下限无关了

3当方程(1)等号右边的积分下限是变数x上限也是变数,如x²时,得：

(x,x²)∫f(t)dt=F(x²兆携竖)-F(x)

如对上式微分,因F(x²)和F(x)都是x的函数,则得：

[(x,x²)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x²)-Fʹ(x)=2xf(x²)-f(x)

上面的导数与下限有关

因此,对变积分限的函数求导时,如积分下限也是一族大个变量,则其导数与下限有关但若积分下限是一个常数,则其导数与下限无关

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积分变限函数

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目录

1基本概念

2函数地位

3函数性质

连续性

导数定理

导数推广

原函数存在定理

4函数应用

利用变限积分求原函数

化积分问题为微分问题

用变限函数求定积分

变量替换是重要方法

1基本概念

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察下面函数：

积分变限函数

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。

注：

1、函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变下限函数即可。

积分变限函数表示曲边梯形的面积

3从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积．（如右图）

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

2函数地位

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。

3函数性质

连续茄如性

定理一若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数定理

定理二如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限链哗函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

定理2

证明过程如下：

定理二证明过程

导数推广

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

导数推广

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

4函数应用

对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的重要目标．积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，它可将积分学问题转化为微分学的问题，在许多场合都有重要的应用．[1]

利用变限积分求原函数

变限积分是为颤唤启引入原函数而提出的，求原函数应是其最基本的应用．

例题1

化积分问题为微分问题

积分变限函数可将积分学问题转化为微分学的问题，这是很重要的一条应用

例题2

用变限函数求定积分

很多函数的原函数是没有办法用初等函数表示，或者是不容易求出的，这时应用改写变限函数会使问题得以解决。

例题3

变量替换是重要方法

变量替换是数学中重要的技巧之一，在积分中，变量替换具有特殊的意义，变限积分中的许多问题离开了变量替换就无从下手了，请见例题：

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